বিন্যাস ও সমাবেশ কি?
বৈচিত্র্যময় পৃথিবীর সৌরজগতের গ্রহ নক্ষত্ররাজির অবস্থান সম্পর্কে জানতে কৌতুহলী থেকেই বিন্যাস ও সমাবেশ ধারণার সৃষ্টি হয়েছে । ভারতের গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ ভাস্কারা – II (Bhaskara-II) 1150 সালে সর্বপ্রথম n সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র প্রদান করেন ।
বিন্যাস
বিন্যাস শব্দের সাধারণ অর্থ সাজানো । তোমাকে যদি লাল ও কালো রংয়ের দুইটি বল দেওয়া হয় এবং বল দুইটি কে সাজাতে বলে – তাহলে কত ভাবে সাজাতে পারবে? আমরা ২টা ভিন্ন রং এর বলকে দুই ভাবে সাজাতে পারবো।
প্রথমে লাল বল ও পরে কাল বল দিয়ে সাজাতে পারবে।
আবার প্রথমে কাল বল ও পরে লাল বল দিয়ে সাজাতে পারবে। মোট দুই ভাবে সাজানো যায় । এভাবে সাজানোকে হয় বলা হয় বিন্যাস ।
এখন তোমাকে যদি তিনটি বল দেওয়া হয় এবং সাজাতে বলে – তখন কত ভাবে সাজাতে পারবে?
তিনটি বল থেকে একটি করে বল নিয়ে সাজানো যায় – তিনভাবে
তিনটি বল থেকে দুইটি করে বল নিয়ে সাজানো যায় – ছয়ভাবে ।
আবার তিনটি বল থেকে তিনটি অর্থাৎ সব কয়টি বল নিয়ে সাজানো যায় – ছয়ভাবে
তা হলে বিন্যাসর সংজ্ঞা বলতে আমরা বুঝি যে, কতগুলি জিনিস থেকে প্রত্যেক বার কয়েকটি বা সব কয়টি জিনিস একবারে নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলা হয়। অর্থাৎ n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস হতে প্রত্যেকবার r(r<n) সংখ্যক জিনিস নিয়ে প্রাপ্ত বিন্যাস সংখ্যাকে nprদ্বারা প্রকাশ করা যায়।
সমাবেশ
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একেবারে নিয়ে যত প্রকার বাছাই করা যায় বা দল গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ বলে । অর্থাৎ n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস হতে প্রত্যেকবার r(r<n) সংখ্যক জিনিস নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে ncrদ্বারা প্রকাশ করা যায়।
এখন তোমাকে যদি লাল ও কালো রংয়ের দুইটি বল দেওয়া হয় এবং দুটি বল নিয়ে যদি সমাবেশ বা দল গঠন করতে বলা হয়। তখন সমাবেশ বা দল গঠন করা যাবে কত ভাবে?
এখনে লাল ও কাল রং এর দুটি বল নিয়ে একটি সমাবেশ হবে। লাল প্রথমে, কাল পরে অথবা কাল আগে লাল পরে বসবে – এ রকম ধারাবাহিকতা সমাবেশের ক্ষেত্রে উপেক্ষা করা হয়। সুতরাং দুইটি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে দুইটি নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা হবে – দুই আর সমাবেশ সংখ্যা হবে – এক।
অর্থাৎ দুটি ভিন্ন বস্তু থেকে দুইটি করে অর্থাৎ সবকটি নিয়ে সমাবেশ গঠন করা হয় তখন সমাবেশ সংখ্যা হয় – একটি
এখন তোমাকে যদি তিনটি বল দেওয়া হয় এবং সমাবেশ বা দল গঠন করতে বলা হয়- তখন সমাবেশ বা দলের সংখ্যা কয়টি হবে?
তিনটি বল থেকে একটি করে বল নিয়ে সমাবেশ বা দল গঠনের সংখ্যা – তিন
তিনটি বল থেকে দুইটি করে বল নিয়ে সমাবেশ বা দল গঠনের সংখ্যা – তিন
তিনটি বল থেকে তিনটি অর্থাৎ সব কয়টি বল নিয়ে সমাবেশ বা দল গঠনের সংখ্যা এক
আরও একটি উদাহরণের সাহায্যে বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যে পার্থক্যটা স্পষ্টভাবে ধারণা পাওয়া যাবে। মনে করি, তিনটি বিভিন্ন অক্ষর a, b, c দেওয়া আছে।
এই তিনটি অক্ষর থেকে দুইটিকে একবার নিয়ে সাজালে পাওয়া যায় : ab, ba, ac, ca, bc, cb.
অর্থাৎ এ ক্ষেত্রেও বিন্যাস সংখ্যা = 6.
আবার অন্যদিকে a, b, c তিনটি অক্ষর থেকে দুইটিকে একবার নিয়ে ab, ac, bc এই তিনটি সমাবেশ গঠন করা যায়। অর্থাৎ এ ক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা = 3.
মনে রাখতে হবে যে, সমাবেশ ক্রমের উপর নির্ভর করে না অর্থাৎ a ও b এর কোনটি আগে কোনটি পরে এই প্রশ্ন উঠে না, সেজন্য ab ও ba অভিন্ন সমাবেশ।
লেখকঃ
ফারহা দিবা
সিনিয়র ইন্সট্রাকটর
ডিপার্টমেন্ট অফ ম্যাথমেটিকস
ড্যাফোডিল পলিটেকনিক ইন্সটিটিউট